L'arbre, un modèle fractale ?
Peut on considérer qu’un arbre soit issu d’un modèle fractal ?
Intro :
Le modèle fractal, c'est-à-dire des formules de récurrence relativement complexes, nous paraît à la fois surprenant et effrayant. C’est en 1970 que Benoît Mandelbrot les définit mathématiquement pour la première fois, et découvre ses premières manifestations dans la nature. L’étude de notre TPE portera sur la possible application des fractales dans la nature, et plus précisément sur l’éventualité de la nature fractale des arbres. Nous nous attacherons premièrement à définir clairement la nature mathématique de cette figure géométrique, puis nous étudierons le cas du sapin de Nordmann, à l’aide de mesure concrètes dans la nature, appuyées de simulations informatiques. Avant d'énoncer les raisons d'un tel port, nous dégagerons les possibles avantages d’une telle disposition, pour terminer par une conclusion générale.
Histoire des fractales
L'homme a toujours cherché à mettre de l'ordre là où régnait apparemment le chaos. Les mathématiciens ont, de tout temps, cherché à étudier les formes simples (nombres entiers, droites, cercles, etc.) ou à simplifier les formes complexes. L'étude des fractales fonctionne à sens inverse : on cherche le complexe dans le simple.
Des monstres mathématiques
De nombreuses notions mathématiques ont d'abord été regardées comme des «monstres» dont on ne parlait qu'à mots couverts avant de les domestiquer, pour les trouver alors extrêmement fertiles. Il en a été ainsi chez les pythagoriciens avec l'apparition des nombres irrationnels, à la Renaissance avec celle des nombres négatifs et des nombres complexes.
Le XIXe siècle est particulièrement riche en monstres mathématiques. C'est en effet la période où une exigence de rigueur de plus en plus poussée remet en cause beaucoup d'énoncés admis jusque-là sans démonstration. Georg Cantor, notamment, multiplie les monstres, qu'il étudie avec parfois beaucoup d'incrédulité («Je le vois mais ne le crois pas», écrit-il à Richard Dedekind).
Plus récemment, l'art a fait une place aux fractales, ces figures peuvent en effet être très artistiques si elles sont bien maitrisées, comme l'attestent ces images :
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